jueves, 23 de julio de 2009

Actividad 22: NÚMEROS COMPLEJOS O IMAGINARIOS

1) Hallar el inverso multiplicativo de la unidad real y de la unidad imaginaria.

2) Calcular x e y de modo que se satisfagan las siguientes igualdades:
a) (3.x + 7.y.i)/4 = [2.x + 1 + i.(8.y - 12)]/5
b) 3.x - 2.y.i = 6.i
c) 2.x/a + 3.y/b + (-x/a + 7.y/b).i = 5 + 6.i
d) x/2 + 2.y.i/3 = 1 - 2.i
a) (3.x + 7.y.i)/4 = [2.x + 1 + i.(8.y - 12)]/5
b) 3.x - 2.y.i = 6.i
c) 2.x/a + 3.y/b + (-x/a + 7.y/b).i = 5 + 6.i
d) x/2 + 2.y.i/3 = 1 - 2.i

3) Hallar el complejo z en cada uno de los siguientes casos:
a) 3.(1 + i) + z = -i
b) z = (-i).(1 + i)
c) z = i.(1 + i) ²
d) i.z = (1 + i).(1 - i)
e) z = (√2 + √3.i) ² - √6.i
f) z = (-1/2 + i.√3/2)³

4) Determinar los conjugados y opuestos de los siguientes complejos:
a) z1 = -4
b) z2 = 2.i
c) z3 = -1/3 + 4.i
d) z4 = cos 40° + i.sen 40°
e) z5 = 2.(cos 135° - i.sen 135°)
f) z6 = 3.ei.60°
g) z7 = e-i.45°
h) z8 = -1/6 - i

5) Efectuar las siguientes operaciones:
a) (2/3 + i) + (4/3 - 3.i/4) + (2/15 + i/4) + (-28/15 - 3.i/2) =
b) (√2 - √3.i).(√2 + √3.i).(1 + √6.i) =
c) (5/2; 5/3):(2/5; 1/2) =
d) (2.√3; 4) ²
e) i2510
f) i-315

6) Dados los números complejos:
u = √3 + i
v = -√3 + 3.i
w = 2 - 2.√3.i
efectuar:
2.u - (v ² - u) - v/w

7) Representar gráficamente:
a) z = -3 + 4.i
b) z = 12 + 5.i
c) z = -1 + √3.i
d) z = 1/4
e) z = -7.i
f) z = a + ai (a > 0)

8) Representar en diagramas cartesianos los siguientes subconjuntos:
A = {(a, b)  C/ |a| ≤ 2  |b|≤ 1}
B = {(a, b)  C/ a = 1}

9) Determinar las raices cuadradas de:
a) z = -7 + 24.i
b) z = (21; -20)
c) z = 8 + 4.√5.i

10) Demostrar las siguientes propiedades:
a) Asociatividad de la suma en complejos.
b) Conmutatividad del producto en complejos.

11) Resolver:
a) [(1 + i)³ + i325 + (5 + i)]/(3 + 4.i)
b) en forma polar: (-2 + i)³/(1 - 3.i)

12) La suma de dos complejos es 3 + i. Si la parte imaginaria del primero es -2 y el cociente del primero por el segundo es un número real, hallar ambos complejos.

13) Siendo:
z1 = (1; 2)
z2 = (-1; -1)
z3 = (-1; -3)
z4 = (-1; 5)
resolver como pares ordenados:
z = z1.z2-1.(z3-1) ² + z4

14) Hallar:
a) w Î C/-3.i.(w + w/2) = 1 + i
b) z Î C/z = z-2

15) Determinar los valores de x e y que verifiquen la siguiente igualdad:
[(2 - 3.i)/(4 + 2.i)].[(x + y.i)/(4 - 2.i)] = (5 - i)/20
16) Graficar las soluciones y el complejo dado:

17) Obtener los valores naturales de x que satisfagan:
x.(x - i) + (x + 0,8).i + 8.x - 8,6 = -(1 - i) ²/(2 + i)

18) Representar todos los complejos para los cuales:
a) |z1| = 1 y φ 1 = π /4
b) |z2| = 1 y φ 2 = 7.π /4
c) z1.z2

20) ¿Cuál debe ser la dependencia entre x e y para que (x + y.i).(2 + 3.i) sea un número real?.

21) Resolver el siguiente sistema en complejos:
(1 + i).x - y.i = 2 + i
(2 + i).x - (2 - i).y = 2.i

22) Calcular z ², siendo:
z = -|1 + i| + √2.i

23) Hallar:
|z ² - z|
Dado: z = 1 + sen x + i.cos x

24) Utilizando la fórmula de De Moivre demostrar:
a) sen 2.x = 2.senx.cos x
b) cos 2.x = cos ² x - sen ² x
c) sen 3.x = 3.cos ² x.sen x - sen³ x
d) cos 3.x = cos³ x - 3.cos x.sen ² x

25) Determinar los conjuntos de puntos del plano complejo que satisfacen:
a) Re(z) = -2
b) Im(z) = 1/5
c) -2 ≤ Im(z) < 3
d) -0,5 < Re(z) < 0,5  |z| = 2
e) π/4 ≤ Arg(z) ≤ 3.π/4  |z| < 2
f) z - z = i
g) |z| ² = z + z
h) z - z-1 = 0
i) z + z-1  
j) z = z ²
k) Re(z) + 2.Im(z) = 0

2 comentarios:

  1. donde puedo encontrar la resolucion de LA Actividad 22: NÚMEROS COMPLEJOS O IMAGINARIOS

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