Es un grupo de elementos que tienen una característica común.
Por ejemplo:
Un conjunto de lápices.
Un conjunto de flores.
Un conjunto de países.
Comprensión
Un conjunto está definido por comprensión cuando se da un criterio que permite decidir si un elemento pertenece o no al conjunto.
Notas musicales
Vocales
Libros de historia
Extensión
Un comjunto está definido por extensión cuando se nombran cada uno de sus elementos.
Do - Re - Mi - Fa - Sol - La - Si
a - e - i - o - u
Lenguaje simbólico
Para representar por símbolos los conjuntos, los elementos y la relación de pertenencia se tiene en cuenta las siguientes convenciones:
- Los elementos que forman un conjunto se encierran entre llaves.
Los conjuntos se designan con letra mayúscula de imprenta.
A = { do, re, mi, fa, sol, la, si}
se lee: "A es igual al conjunto formado por do, re, mi, fa, sol, la, si" - Los elementos se designan con letras minúsculas.
a = do b = re c = mi d = fa e= sol f = la g = si
A = { a, b, c, d, e, f, g}
Mientras trabajamos con este conjunto a, b, c, d, e, f, g mantienen siempre el mismo significado a designa sólo a do y g sólo a si,
a - b - c - d - e - f - g, son constantes. - Para indicar que un elemento pertenece al conjunto se escribe:∈
Para indicar que no pertenece al conjunto se escribe:
Lenguaje gráfico
- Los conjuntos se representan por un curva cerrada.
- Los elementos que pertenecen al conjunto se representan por puntos interiores a la curva.
- Los elementos que no pertenecen al conjunto se representan por puntos exteriores a la curva.
- Ningún punto se representa sobre la curva.
Diagrama de Venn
Comjuntos infinitos
A = { los peces del mar}
B= { los números impares}
C = {las estrellas del universo}
Conjuntos según el número de elementos
A tiene 3 elementos→ A es una Terna
B tiene 2 elementos → A es un Par
C tiene 1 elemento → C es un Conjunto Unitario
D no tiene elementos → D es un Conjunto Vacío
Conjunto vacío
Definir un conjunto vacío por comprensión equivale a enunciar una propiedad que no es cumplida por ningún elemento.
Z = {vacas que vuelan}
T = { peces que corren en la pradera}
Z={Ø}
T= {Ø}
Conjunto referencial o universal
Es el conjunto formado por todos los elementos del tema de referencia.
Paralelogramo, trapecio, rectángulo, rombo, romboide, cuadrado.
El referencial = {cuadriláteros}
Si el universal es:
{x/x es un número menor o igual que 50}
"No existen" los números 51 - 70 ó 94, ningún punto puede representarse fuera del diagrama de referencia.
Ejemplo:
U = {x/x es una flor}
A = {es un clavel}
Los siguientes elementos:
a = clavel
b = rosa
c = gusano
a ε A
b ε A
El gusano no tiene sentido representarlo porque no es flor.
Complemento
Se llama complemento de A al conjunto de elementos que no pertenecen a A
En símbolos
---
A = {x/x ε A}
Si P = {vocales} = {a, e, i, o, u}
y A = {vocales abiertas} = {a, e, o}
entonces
---
A = {vocales cerradas} = {i, u}
Conjuntos iguales
Cuando están formados por los mismos elementos.
A = {alumnos que tocan la guitarra}
A= {Molina, Gasparino, Baltazarre}
B={alumnos que forman parte del equipo de natación}
B= {Molina, Gasparino, Baltazarre}
A = B
Partes de un conjunto
Inclusión
Un conjunto B está estrictamente incluído en un conjunto A si todo elemento de B pertenece a A pero no existe por lo menos un elemento de A que no pertenece a B.
B⊂ A | B⊆ A | B = A |
Un conjunto B está incluído en otro conjunto A si y sólo si todo elemento de B pertenece a A
A = B ⇔ → x ε A ⇒ x ε B ⇒ A ⊆ B
A = B ⇔ → x ε B ⇒ x ε A ⇒ B ⊆ A
Dos conjuntos A y B son iguales si y sólo si cada uno de ellos está incluído en el otro.
A = B ⇔ A ⊆ B y B ⊆ A
El conjunto vacío está incluído en todo conjunto
Ø ⊆ A
Propiedades de la inclusión
1)
A ⊆ A | Propiedad reflexiva :
|
2) A ⊆ B y B ⊆ A ⇒ A ≠ B
A ⊆ B y B ⊆ A ⇒ A = B
A ⊆ B y B ⊆ A ⇒ A = B | Propiedad antisimétrica |
A ⊆ B y B ⊆ C⇒ A ⊆ C | Propiedad transitiva |
Diferencia entre la relación de pertenencia y la relación de inclusión
La relación de pertenencia vincula un elemento con un conjunto.
La relación de inclusión vincula dos conjuntos.
Ejemplo:
D = {vocales} = {a, e, i, o, u}
F= {vocales abiertas} = {a, e, o}
G = {vocales cerradas} = {i, u}
F ⊂ D
C ⊂ D
Si relacionamos elementos:
a ε A a ε B
i ε A
Conjuntos de partes A
Se llama potencial de A y se escribe: P(A)
P(A)= {{a,b}, {a}, {b}, {Ø}}
{a,b} → 1 par
{a}, {b} → 2 conjuntos unitarios
Ø → 1 conjunto vacío
Total 4 subconjuntos o partes de A
Operaciones con conjuntos
Intersección
De dos conjuntos A y B al conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A y a B.
A = {estudiantes de inglés}
B = {estudiantes de francés}
A ∩ B = {estudiantes de inglés y francés}
Representación gráfica. Diagrama de Venn
A ∩ B = { 2, 3 }
Conjuntos disjuntos
Si dos conjuntos no tienen elementos comunes la intersección es vacía.
A = {a, b, c}
B = {k, m}
A ∩ B = Ø no hay ningún elemento que pertenezca a A y a B.
Unión
Es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y a B.
A = {naranja, verde, azul}
B = {amarillo, gris}
A ∪ B = {naranja, verde, azul, amarillo, gris}
Diferencia
Es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B.
B - A = {4, 5}
Diferencia simétrica
Es el conjunto formado por todos los elementos que pertenenecen a A o a B pero no a ambos.
A Δ B = ( A - B) ∪ (B - A)
A Δ B = {1, 2, 4, 5}
Complemento
Es el conjunto formado por todos los elementos que no pertenecen a A.
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A = U - A
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = {1, 2, 3}
----
A = {4, 5, 6}
NO ENTENDI EL CONJUNTO ACB
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