domingo, 19 de julio de 2009

Teoría 15: Conjuntos

Es un grupo de elementos que tienen una característica común.

Por ejemplo:

Un conjunto de lápices.

Un conjunto de flores.

Un conjunto de países.

Comprensión

Un conjunto está definido por comprensión cuando se da un criterio que permite decidir si un elemento pertenece o no al conjunto.

Notas musicales

Vocales

Libros de historia

Extensión

Un comjunto está definido por extensión cuando se nombran cada uno de sus elementos.

Do - Re - Mi - Fa - Sol - La - Si

a - e - i - o - u

Lenguaje simbólico

Para representar por símbolos los conjuntos, los elementos y la relación de pertenencia se tiene en cuenta las siguientes convenciones:

  • Los elementos que forman un conjunto se encierran entre llaves.
    Los conjuntos se designan con letra mayúscula de imprenta.
    A = { do, re, mi, fa, sol, la, si}
    se lee: "A es igual al conjunto formado por do, re, mi, fa, sol, la, si"

  • Los elementos se designan con letras minúsculas.
    a = do b = re c = mi d = fa e= sol f = la g = si

    A = { a, b, c, d, e, f, g}

    Mientras trabajamos con este conjunto a, b, c, d, e, f, g mantienen siempre el mismo significado a designa sólo a do y g sólo a si,
    a - b - c - d - e - f - g, son constantes.
  • Para indicar que un elemento pertenece al conjunto se escribe:
    Para indicar que no pertenece al conjunto se escribe:

Lenguaje gráfico

  • Los conjuntos se representan por un curva cerrada.
  • Los elementos que pertenecen al conjunto se representan por puntos interiores a la curva.
  • Los elementos que no pertenecen al conjunto se representan por puntos exteriores a la curva.
  • Ningún punto se representa sobre la curva.

Diagrama de Venn

Comjuntos infinitos

A = { los peces del mar}

B= { los números impares}

C = {las estrellas del universo}

Conjuntos según el número de elementos

A tiene 3 elementos→ A es una Terna

B tiene 2 elementos A es un Par

C tiene 1 elemento C es un Conjunto Unitario

D no tiene elementos D es un Conjunto Vacío

Conjunto vacío

Definir un conjunto vacío por comprensión equivale a enunciar una propiedad que no es cumplida por ningún elemento.

Z = {vacas que vuelan}

T = { peces que corren en la pradera}

Z={Ø}

T= {Ø}

Conjunto referencial o universal

Es el conjunto formado por todos los elementos del tema de referencia.

Paralelogramo, trapecio, rectángulo, rombo, romboide, cuadrado.

El referencial = {cuadriláteros}

Si el universal es:

{x/x es un número menor o igual que 50}

"No existen" los números 51 - 70 ó 94, ningún punto puede representarse fuera del diagrama de referencia.

Ejemplo:

U = {x/x es una flor}

A = {es un clavel}

Los siguientes elementos:

a = clavel

b = rosa

c = gusano

a ε A

b ε A

El gusano no tiene sentido representarlo porque no es flor.

Complemento

Se llama complemento de A al conjunto de elementos que no pertenecen a A

En símbolos

---
A = {x/x ε
A}

Si P = {vocales} = {a, e, i, o, u}

y A = {vocales abiertas} = {a, e, o}

entonces

---
A = {vocales cerradas} = {i, u}

Conjuntos iguales

Cuando están formados por los mismos elementos.

A = {alumnos que tocan la guitarra}

A= {Molina, Gasparino, Baltazarre}

B={alumnos que forman parte del equipo de natación}

B= {Molina, Gasparino, Baltazarre}

A = B

Partes de un conjunto

Inclusión

Un conjunto B está estrictamente incluído en un conjunto A si todo elemento de B pertenece a A pero no existe por lo menos un elemento de A que no pertenece a B.

B⊂ A B⊆ A B = A

Un conjunto B está incluído en otro conjunto A si y sólo si todo elemento de B pertenece a A

A = B ⇔ x ε A ⇒ x ε B ⇒ A ⊆ B

A = B ⇔ x ε B ⇒ x ε A ⇒ B ⊆ A

Dos conjuntos A y B son iguales si y sólo si cada uno de ellos está incluído en el otro.

A = B A ⊆ B y B ⊆ A

El conjunto vacío está incluído en todo conjunto

Ø ⊆ A

Propiedades de la inclusión

1)

A A

Propiedad reflexiva :
Todo conjunto está incluído en sí mismo.

2) A B y B A ⇒ A ≠ B

A B y B A ⇒ A = B

A B y B A A = B Propiedad antisimétrica
A B y B C⇒ A C Propiedad transitiva

Diferencia entre la relación de pertenencia y la relación de inclusión

La relación de pertenencia vincula un elemento con un conjunto.

La relación de inclusión vincula dos conjuntos.

Ejemplo:

D = {vocales} = {a, e, i, o, u}

F= {vocales abiertas} = {a, e, o}

G = {vocales cerradas} = {i, u}

F ⊂ D

C D

Si relacionamos elementos:

a ε A a ε B

i ε A

Conjuntos de partes A

Se llama potencial de A y se escribe: P(A)

P(A)= {{a,b}, {a}, {b}, {Ø}}

{a,b} → 1 par

{a}, {b} 2 conjuntos unitarios

Ø 1 conjunto vacío

Total 4 subconjuntos o partes de A

Operaciones con conjuntos

Intersección

De dos conjuntos A y B al conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A y a B.

A = {estudiantes de inglés}

B = {estudiantes de francés}

A ∩ B = {estudiantes de inglés y francés}

Representación gráfica. Diagrama de Venn

A ∩ B = { 2, 3 }

Conjuntos disjuntos

Si dos conjuntos no tienen elementos comunes la intersección es vacía.

A = {a, b, c}

B = {k, m}

A B = Ø no hay ningún elemento que pertenezca a A y a B.

Unión

Es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y a B.

A = {naranja, verde, azul}

B = {amarillo, gris}

A ∪ B = {naranja, verde, azul, amarillo, gris}

Diferencia

Es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B.

B - A = {4, 5}

Diferencia simétrica

Es el conjunto formado por todos los elementos que pertenenecen a A o a B pero no a ambos.

A Δ B = ( A - B) (B - A)

A Δ B = {1, 2, 4, 5}

Complemento

Es el conjunto formado por todos los elementos que no pertenecen a A.

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A = U - A

U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

A = {1, 2, 3}

----
A = {4, 5, 6}

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