sábado, 18 de julio de 2009

Teoría 8: Límite

Límite función logarítmica

Podemos encontrar entre dos números consecutivos infinitos números:

Por ejemplo:

8 y 9

Podemos tomar 8,5 que está entre 8y 9

8 .... 8,5..... 9

8....8,001....9

Siempre nos podremos acercar al número "8" , sin llegar a él.
"8" es el límite que no podemos tocar.

Si nos acercamos desde valores mayores a 8, se dice que nos " acercamos por la derecha ".

Si nos acercamos desde valores menores a 8, se dice que nos " acercamos por la izquierda ".

El concepto de límite está ligado al concepto de función.

Función lineal

y = x + 8

y = 2x + 3

x 0,5 0,05 0,001 - 0,5 - 0,01 - 0,002
y= 2x + 3
4
3,1
3,002
2
2,98
2,996

Si se observa la tabla de valores correspondientes a la función y = 2x +3, cada vez que los valores de x se acercan más a 0, ya sea por la derecha o por la izquierda, es decir, ya sea para valores positivos o para valores negativos, los valores correspondientes de y se acercan más a 3, o lo que es lo mismo difieren de 3 tan poco como se quiera.

Lenguaje simbólico de límite

lim x + 8 = 8 lim 2x + 3 = 3
x→ 0 x→ 0

lim función analizada lim función analizada
8+ x
= 8→ límite 2x + 3 = 3 → límite
x→ 0 x→ 0
x tiende a 0 x tiende a 0

El valor de x se acerca a "cero" y el valor de " y " (la imagen de la función) tiende a 8

El valor de x se acerca a "cero" y el valor de " y " (la imagen de la función) tiende a 3

Teorema acerca de los límites

Si lim [f(x) + g(x)] = C y lim g(x) = B
x→ a x→ a

Límite de una suma es la suma de los límites.

lim [f(x) + g(x)] = C + B
x→ a

Límite de una diferencia es la diferencia de los límites

lim [f(x) - g(x)] = C - B
x→ a

Límite de un producto es el producto de los límites

lim [f(x) . g(x)] = C . B
x→ a

Límite de un cociente es el cociente de los límites, siempre que el límite del denominador no sea 0

lim f(x) = C si B ≠ 0
x→ a g(x) B

Ejemplos:

A)

lim ( x2 + 4x - 1)
x → 2

Límite de la suma y la diferencia

lim ( x2 + 4x - 1) = lim x2 + lim 4x - lím 1
x → 2 x → 2 x → 2 x → 2

Límite del producto

lim x . lim x + lim 4 . lim x - lim 1
x → 2 x → 2 x → 2 x → 2 x → 2

Límite de las funciones constante e identidad

2 . 2 + 4 . 2 - 1

4 + 8 - 1 = 11

vvvvvvvvvv

B)

lim 2x - 3
x→ - 1 x - 1

Límite de cociente

lim 2x - 3 = lim ( 2x - 3)
x→ - 1 x - 1 x→ - 1
lím ( x - 1)
x→ - 1

Límite del producto y de la diferencia

lim 2 . lim x - lim 3
x → -1 x → -1 x → -1
lim x - lim 1
x→ - 1 x→ - 1

Límite de las funciones constantes y de identidad

2 . - 1 - 3 = - 5 = 2,5
- 1 - 1 - 2

El límite de una constante por una función es la constante por el límite

f(x) = k. lím f(x)
x→ a

Ejemplo:

lím 3 x = 3 lim x = 3 . 4 = 6
x→ 4 x→ 4

Límite de un polínomio

El límite de un polínomio p(x) cuando x→ a es el valor del polínomio en a

p(x) = c n .xn + c n - 1 . xn - 1 + ....+ c 1 . x + c 0

p(x) = lím ( c n .xn + c n - 1 . xn - 1 + ....+ c 1 . x + c 0 )
x→ a

Límite de una suma

= lím ( c n .xn) + lím (cn - 1 . xn - 1 ) +..... + lím (c1 . x + c 0 )
x→ a x→ a x→ a

Límite de una constante por una función

c n . an + cn - 1 a n - 1 + ..... + c1 .a + c 0

= p(a)

Ejemplo:

lím ( 2 x5 - 3 x2 - 1) = 2 . 2 5 - 3 . 2 2 - 1 = 51
x→ 2

Límite de una función racional

lim p(x) = p(a)
x→ a q(x) q(a)

lím - 3 x4 + 2x2 + x =
2 x2 + 3 x5
x→ 1

- 3 . 1 + 2 . 1 + 1 = 0 = 0
2 . 1 + 3.1 5

- 3 + 2 + 1 = 0 = 0
2 + 3 5

La indeterminación " 0/0 "

p(x) es una función racional y si q(a) ≠ 0, para calcular lim p(x)
q(x) x→ a q(x)

es suficiente p(a)
q(a)

¿Qué sucede cuando el límite del denominador es nulo?

q(x) = 0

Primer caso: cuando el numerador y denominador es 0

lím x3 - 1 = 1 - 1 = 0 Indeterminada
x→ 1 2 x - 2 2 - 2 0

Factoreo sexto caso

x3 - 1 = ( x + 1 ) . ( x2 - x + 1 )

Factoreo: primer caso

2x - 2 = 2. (x - 1)

Entonces

( x + 1 ) . ( x2 - x + 1 )
2. (x - 1)

Se simplica, si es posible y se tiene:

( x2 - x + 1 )
2

x→ 1

Se reemplaza por el valor encontrado:

( 1 2 - 1 + 1 ) = 1 - 1 + 1 = 1/2 = 0,5
2 2

vvvvvvvvvv

Extensiones del concepto de límite

lim 1 = 0
x→∞ x

x 100 1.000 10.000 100.000 → ∞
f(x) 0,01 0,001 0,0001 0,00001 → 0

A medida que x crece los valores de la función se aproximan cada vez más a 0.

Si x→ 0 + los valores de la función f(x) crecen "sin tope".
Si x → 0 - , los valores de f(x) decrecen" sin tope ".

Si x crece " sin tope " , f(x) 0.
Si x decrece " sin tope ", f(x) 0

f(x) = 1
x

f(x) = 1 = ∞
x
x → 0

f(x) = 1 = 0
x
x → ∞

Límite en el infinito. Asíntota horizontal

f(x) = 1 + 2
x

lim ( 1 + 2) = 1
x →+ ∞ x

Los valores de f(x) se aproxima tanto cuanto se desee a 1 los valores de x crecen " sin tope ".

lim ( 1 + 2) = 1
x → - ∞ x

Los valores de la f(x) se aproximan tanto como se desee a 1 cuando los valores de x decrecen " sin tope".

Asíntota horizontal = 1

Límite infinito en un punto Asíntota vertical.

f(x) = 1
x 2

Los valores de f(x) crecen " sin tope ", cuando x se aproxima a cero.

lím = 1 = + ∞
x → 0 x 2

Trabajando con la función opuesta

g(x) = - 1
x 2

lím = - 1 = - ∞
x → 0 x 2

Los valores de g(x) decrecen sin tope cuando x se aproxima a cero.

Asíntota vertical: hay un acercamiento tanto como se quiera a la recta x = 0, cuando x se aproxima a 0, la recta x= 0 es la asíntota vertical

vvvvvvvvvv

Límites laterales

El límite de una función existe si y sólo si dos límites laterales existen y son iguales.

No siempre los límites laterales (izquierda (-) y derecha (+)) son iguales.

x + 2 si x ≤ 1

x - 1 si x > 1

Para hallar el límite de esta función:

a) Separar la parte de la ecuación que se utiliza para valores menores o iguales que "1"
x + 2 si x ≤ 1

( x + 2)

b) Separar la parte de la ecuación que se utiliza con los valores mayores a "1"
x - 1 si x
> 1

( x – 1)

Cuando analizamos una función desde la derecha, colocamos el signo + como exponente del número a que tiende x

Para calcular el límite, reemplazamos " x " por el número a que tiende:

lim x - 1 = 1 - 1 = 0
x → 1+

Cuando analizamos una función desde la izquierda,colocamos el signo - como exponente del número a que tiende x.

Para calcular el límite, reemplazamos " x " por el número a que tiende:

lim x + 2 = 1 + 2 = 3
x → 1 -

0 3

Para hallar el límite, los laterales de izquierda y derecha deben ser iguales :
Esta función no tiene límite en x = 1

Si los límites laterales dan lo mismo, el límite de la función es ese valor.

f(x)=

x2 - 1 si x ≤ 2

5x - 7 si x > 2

lim (x2 - 1) = 2 2 - 1 = 3
x→2 -

lim (5x - 7) = 5.2 - 7 = 3
x→ 2 +

entonces

lim f(x) = 3
x→2

Los límites laterales son: 3 = 3

Si los límites laterales son iguales entonces:

El límite de la función es x = 2

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