Podemos encontrar entre dos números consecutivos infinitos números:
Por ejemplo:
8 y 9
Podemos tomar 8,5 que está entre 8y 9
8 .... 8,5..... 9
8....8,001....9
Siempre nos podremos acercar al número "8" , sin llegar a él.
"8" es el límite que no podemos tocar.
Si nos acercamos desde valores mayores a 8, se dice que nos " acercamos por la derecha ".
Si nos acercamos desde valores menores a 8, se dice que nos " acercamos por la izquierda ".
El concepto de límite está ligado al concepto de función.
Función lineal
y = x + 8
y = 2x + 3
x | 0,5 | 0,05 | 0,001 | - 0,5 | - 0,01 | - 0,002 |
y= 2x + 3 | 4 | 3,1 | 3,002 | 2 | 2,98 | 2,996 |
Si se observa la tabla de valores correspondientes a la función y = 2x +3, cada vez que los valores de x se acercan más a 0, ya sea por la derecha o por la izquierda, es decir, ya sea para valores positivos o para valores negativos, los valores correspondientes de y se acercan más a 3, o lo que es lo mismo difieren de 3 tan poco como se quiera.
Lenguaje simbólico de límite
lim x + 8 = 8 lim 2x + 3 = 3
x→ 0 x→ 0
lim función analizada lim función analizada
8+ x = 8→ límite 2x + 3 = 3 → límite
x→ 0 x→ 0
x tiende a 0 x tiende a 0
El valor de x se acerca a "cero" y el valor de " y " (la imagen de la función) tiende a 8
El valor de x se acerca a "cero" y el valor de " y " (la imagen de la función) tiende a 3
Teorema acerca de los límites
Si lim [f(x) + g(x)] = C y lim g(x) = B
x→ a x→ a
Límite de una suma es la suma de los límites.
lim [f(x) + g(x)] = C + B
x→ a
Límite de una diferencia es la diferencia de los límites
lim [f(x) - g(x)] = C - B
x→ a
Límite de un producto es el producto de los límites
lim [f(x) . g(x)] = C . B
x→ a
Límite de un cociente es el cociente de los límites, siempre que el límite del denominador no sea 0
lim f(x) = C si B ≠ 0
x→ a g(x) B
Ejemplos:
A)
lim ( x2 + 4x - 1)
x → 2
Límite de la suma y la diferencia
lim ( x2 + 4x - 1) = lim x2 + lim 4x - lím 1
x → 2 x → 2 x → 2 x → 2
Límite del producto
lim x . lim x + lim 4 . lim x - lim 1
x → 2 x → 2 x → 2 x → 2 x → 2
Límite de las funciones constante e identidad
2 . 2 + 4 . 2 - 1
4 + 8 - 1 = 11
vvvvvvvvvv
B)
lim 2x - 3
x→ - 1 x - 1
Límite de cociente
lim 2x - 3 = lim ( 2x - 3)
x→ - 1 x - 1 x→ - 1
lím ( x - 1)
x→ - 1
Límite del producto y de la diferencia
lim 2 . lim x - lim 3
x → -1 x → -1 x → -1
lim x - lim 1
x→ - 1 x→ - 1
Límite de las funciones constantes y de identidad
2 . - 1 - 3 = - 5 = 2,5
- 1 - 1 - 2
El límite de una constante por una función es la constante por el límite
f(x) = k. lím f(x)
x→ a
Ejemplo:
lím 3√ x = 3 lim √x = 3 . √4 = 6
x→ 4 x→ 4
Límite de un polínomio
El límite de un polínomio p(x) cuando x→ a es el valor del polínomio en a
p(x) = c n .xn + c n - 1 . xn - 1 + ....+ c 1 . x + c 0
p(x) = lím ( c n .xn + c n - 1 . xn - 1 + ....+ c 1 . x + c 0 )
x→ a
= lím ( c n .xn) + lím (cn - 1 . xn - 1 ) +..... + lím (c1 . x + c 0 )
x→ a x→ a x→ a
Límite de una constante por una función
c n . an + cn - 1 a n - 1 + ..... + c1 .a + c 0
= p(a)
Ejemplo:
lím ( 2 x5 - 3 x2 - 1) = 2 . 2 5 - 3 . 2 2 - 1 = 51
x→ 2
Límite de una función racional
lim p(x) = p(a)
x→ a q(x) q(a)
lím - 3 x4 + 2x2 + x =
2 x2 + 3 x5
x→ 1
- 3 . 1 + 2 . 1 + 1 = 0 = 0
2 . 1 + 3.1 5
- 3 + 2 + 1 = 0 = 0
2 + 3 5
La indeterminación " 0/0 "
p(x) es una función racional y si q(a) ≠ 0, para calcular lim p(x)
q(x) x→ a q(x)
es suficiente p(a)
q(a)
¿Qué sucede cuando el límite del denominador es nulo?
q(x) = 0
Primer caso: cuando el numerador y denominador es 0
lím x3 - 1 = 1 - 1 = 0 Indeterminada
x→ 1 2 x - 2 2 - 2 0
Factoreo sexto caso
x3 - 1 = ( x + 1 ) . ( x2 - x + 1 )
Factoreo: primer caso
2x - 2 = 2. (x - 1)
Entonces
( x + 1 ) . ( x2 - x + 1 )
2. (x - 1)
Se simplica, si es posible y se tiene:
( x2 - x + 1 )
2
x→ 1
Se reemplaza por el valor encontrado:
( 1 2 - 1 + 1 ) = 1 - 1 + 1 = 1/2 = 0,5
2 2
vvvvvvvvvv
Extensiones del concepto de límite
lim 1 = 0
x→∞ x
x | 100 | 1.000 | 10.000 | 100.000 | → ∞ |
f(x) | 0,01 | 0,001 | 0,0001 | 0,00001 | → 0 |
A medida que x crece los valores de la función se aproximan cada vez más a 0.
Si x→ 0 + los valores de la función f(x) crecen "sin tope".
Si x → 0 - , los valores de f(x) decrecen" sin tope ".
Si x crece " sin tope " , f(x) → 0.
Si x decrece " sin tope ", f(x) → 0
f(x) = 1
x
↓
f(x) = 1 = ∞
x
x → 0
f(x) = 1 = 0
x
x → ∞
Límite en el infinito. Asíntota horizontal
f(x) = 1 + 2
x
lim ( 1 + 2) = 1
x →+ ∞ x
Los valores de f(x) se aproxima tanto cuanto se desee a 1 los valores de x crecen " sin tope ".
lim ( 1 + 2) = 1
x → - ∞ x
Los valores de la f(x) se aproximan tanto como se desee a 1 cuando los valores de x decrecen " sin tope".
Asíntota horizontal = 1
Límite infinito en un punto Asíntota vertical.
f(x) = 1
x 2
Los valores de f(x) crecen " sin tope ", cuando x se aproxima a cero.
lím = 1 = + ∞
x → 0 x 2
Trabajando con la función opuesta
g(x) = - 1
x 2
lím = - 1 = - ∞
x → 0 x 2
Los valores de g(x) decrecen sin tope cuando x se aproxima a cero.
Asíntota vertical: hay un acercamiento tanto como se quiera a la recta x = 0, cuando x se aproxima a 0, la recta x= 0 es la asíntota vertical
vvvvvvvvvv
Límites laterales
El límite de una función existe si y sólo si dos límites laterales existen y son iguales.
No siempre los límites laterales (izquierda (-) y derecha (+)) son iguales.
x + 2 si x ≤ 1
x - 1 si x > 1
Para hallar el límite de esta función:
a) Separar la parte de la ecuación que se utiliza para valores menores o iguales que "1"
x + 2 si x ≤ 1
( x + 2)
b) Separar la parte de la ecuación que se utiliza con los valores mayores a "1"
x - 1 si x > 1
( x – 1)
Cuando analizamos una función desde la derecha, colocamos el signo + como exponente del número a que tiende x
Para calcular el límite, reemplazamos " x " por el número a que tiende:
lim x - 1 = 1 - 1 = 0
x → 1+
Cuando analizamos una función desde la izquierda,colocamos el signo - como exponente del número a que tiende x.
Para calcular el límite, reemplazamos " x " por el número a que tiende:
lim x + 2 = 1 + 2 = 3
x → 1 -
0 ≠ 3
Para hallar el límite, los laterales de izquierda y derecha deben ser iguales :
Esta función no tiene límite en x = 1
Si los límites laterales dan lo mismo, el límite de la función es ese valor.
f(x)=
x2 - 1 si x ≤ 2
5x - 7 si x > 2
lim (x2 - 1) = 2 2 - 1 = 3
x→2 -
lim (5x - 7) = 5.2 - 7 = 3
x→ 2 +
entonces
lim f(x) = 3
x→2
Los límites laterales son: 3 = 3
Si los límites laterales son iguales entonces:
El límite de la función es x = 2
No hay comentarios:
Publicar un comentario