sábado, 18 de julio de 2009

Teoría 5: Expresiones algebraicas


Las expresiones que son combinaciones de operaciones entre números expresados en letras y cifras, se llaman expresiones algebraicas.

2/5 mn3

Monomios

Las expresiones algebraicas en la que no intervienen la suma ni la resta se llaman
monomios

- 1/2 x5


Monomios semejantes: si dos o más monomios tienen la misma parte literal,se dicen semejantes

3a5b ;– 1/2 a5b; a5b

Polinomios

Son aquellas expresiones algebraicas en que intervienen la suma y la resta

5x3y2- 2a4+ 1/2b

Grado de un monomio: es el número de factores literales que en él figuran,y se calcula sumando los exponentes de todas sus letras.

2a3b2c


El monomio 2 a3b2c es de sexto grado,puesto que en él,figuran 3 factores a, dos factores b y un factor c. Este número 6 puede obtenerse sumando los exponentes 3+ 2 + 1 = 6.

Grado de un polinomio: Es el término de más alto grado.

1/2x2 +3a2x - 0,2a4 + ax

Es de cuarto grado, pues el término de mayor grado, - 0,2a4 es de cuarto grado.

Polinomios homogéneos: cuando todos sus términos son del mismo grado.

3a2b - 1/5 xz2 + 2b2

Todos sus términos son de segundo grado.

Polinomios ordenados: un polinomio se dice ordenado,con respecto a las potencias decrecientes de una de sus letras,cuando ésta figura en cada término elevada a una potencia menor o igual que en el término anterior.

1/2a4z - 5a3 + 2/3a2z5 - a

Está ordenado con respecto a las potencias decrecientes de a

x7 + 4x6- x5 +2x3 - 1/2

Está ordenado con respecto a las potencias decrecientes de x

Polinomio completo: cuando figuran todas las potencias de la letra

1/3y4 + 5y3 - 1/2 y2 + 4 y + 1/7

Polinomio incompleto: no figuran todas las potencias de la letra y es necesario completarlo.

1/3x4 + 2x - 1
es necesario agregar los términos 0x3 y 0x2,luego el polinomio completo es:
1/3x4 + 0x3
+ 0x2 + 2x - 1

Valor numérico de una expresión algebraica para valores particulares de sus letras.

m : - 2

x : 3

5m2x3
5.( - 2)2.( 3 )3
- 10 . 27 = - 270
Función polinómica: cuando la relación que expresa la función es un polinomio.
y = 2x2 - 3x + 1
y = 3x4 - 2x3 + x2 - 1/5x +4

Adición de expresiones algebraicas

  • Adición de monomios semejantes

Sumar los siguientes monomios

- 2a3x; 1/5a3x; a3x

- 2a3x + 1/5a3x + a3x = sacando factor común a3x
a3x ( -2 + 1/5 +1 ) = - 4/5

por lo tanto el resultado es = -4/5a3x

Adición de monomios no semejantes

Se realiza una reducción de términos

a2 + 1 - 2xy - 3a2 + xy - 2a2
( a2 - 3a2 - 2a2 )= - 4a2
- 2xy + xy = -1 xy
Reemplazando los términos semejantes:
- 4a2 -1 xy + 1

Adición de polinomios

(2x3 + - 5x + 3) + ( 6x3 + 4x2 + 8x - 4) =

2x3 + 0x2 - 5x + 3
6x3 + 4x2 + 8x - 4
8x3 + 4 x2 + 3 x - 1

Regla: Para sumar varios polinomios, se coloca uno debajo del otro, de manera que los términos semejantes queden en columnas.
Se hace la suma parcial de cada columna y se escriben los resultados parciales uno a continuación del otro.

Sustracción de polinomios

(2x3 + - 5x + 3) - ( 6x3 + 4x2 + 8x - 4) =

2x3 + 0x2 - 5x + 3
- 6x3 - 4x2 - 8x + 4
- 4x3 - 4x2 - 13x + 7

Regla:Para restar dos expresiones algebraicas se suma el minuendo al sustraendo con sus términos cambiados de signo.

Multiplicación de monomios

(2a2x) . (- 6a3b2) . ( -1/2 abx2) =

2 . - 6 . - 1/2 =12/2 = 6

a2 . a3 . a = a6 ( producto de igual base)

x . x2 = x3

b2 . b = b3

= 6 a6x3b3

Regla: Para hallar el producto de dos o más monomios se multiplica cada uno de los coeficientes, se multiplica la parte literal aplicando el producto de igual base ( se suman los exponentes) y se aplica la regla de los signos.

Multiplicación de polinomios

2a 2- 3ab + 5b2
2ab
4 a3b - 6 a2b2
+ 10 a b3

2a 2- 3ab + 5b2
2a - b
4 a3 - 6 a 2b + 10 a b2
- 2 a 2b + 3 a b2 - 5 b3
4
a3 - 8 a 2b + 13 a b2 - 5 b3

Regla: Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada término del primero por cada término del segundo y se suman los productos parciales.

División de monomios

- 4x3 y 5: - 2 x2 y =

- 4 : - 2 = 2

x3 : x2 = x ( división de igual base)

y 5: y = y4

= - 4 x y4

Regla: Para hallar el cociente de dos o más monomios se divide cada uno de los coeficientes, se divide la parte literal aplicando el cociente de igual base ( se restan los exponentes) y se aplica la regla de los signos.

División de un polinomio por un monomio

(5 m4n x4 + 2/3 m3x y) : 2 m3x =

Propiedad distributiva

5 m4n x4 : 2 m3x = 5/2 m n x3

2/3 m3x y : 2 m3x =1/3 y

= 5/2m n x3 + 1/3 y

Regla: Para dividir un polinomio por un monomio se divide cada término del polinomio dividendo por el monomio divisor y se suman los cocientes parciales.

División de polinomios

6x3 - x2 + 4x - 1 ⁄ 2x2 - x + 2
-6x3 + 3x2 - 6x 3x + 1
0 +2 x2 - 2x - 1
-2 x2 + x - 2
0 - x - 3

Cociente: 3x +1

Resto: -x -3

Regla: Se ordenan los polinomios según la potencias decrecientes de una misma letra, se divide el primer término del dividendo por el primer término del divisor, obteniéndose así el primer término del cociente. Se multiplica este término por todo el divisor, y este producto se resta del dividendo, obteniéndose el primer resto parcial. Se repiten las operaciones anteriores comenzando por dividir el primer término del resto por el primer término del divisor. Y así se sigue hasta llegar a un resto de grado menor que el divisor.

Regla de Ruffini

El cociente de un polinomio completo en x por un binomio de la forma (x ± a) es un polinomio cuyo grado es inferior en una unidad al del dividendo y cuyos coeficientes, una vez ordenado el dividendo de acuerdo a las potencias decrecientes de x, se obtienen así:

El primer coeficiente del cociente es igual al primer coeficiente del dividendo; el segundo coeficiente se obtiene multiplicando el coeficiente anterior por el número "a" cambiado de signo y sumando a este producto el coeficiente del segundo término del dividendo; el tercer coeficiente se obtiene multiplicando el coeficiente anterior por el número "a" cambiado de signo y sumando a este producto el coeficiente del tercer término del dividendo, y así siguiendo para los restantes.

El resto se obtiene multiplicando el último coeficiente del cociente por "a" cambiado de signo y sumando a este producto el término independiente del dividendo.

(4 x5 - 7x 3- 3) : ( x +2) =

1) Completar

x5 + 0x4 - 7x3 + 0x2+ 0x - 3

2)

(x ± a) = ( x + 2)

Cambiar el signo del término" a "( +2)

- 2

4 0 -7 0 0 -3
- 2 -8 16 -18 36 -72
4 -8 9 -18 36 -75

3)

Se baja un exponente de la parte literal

4x4 - 8x3 + 9x2 - 18x - 36

Resto: -75

Teorema del resto

Se reemplaza la x del la expresión albegraica por el número del divisor ( x + 2), se cambia el signo del número en este caso -2

(4 x5 - 7x 3- 3) : ( x +2) =

4 x5 - 7x 3- 3 =

4 (-2) 5 - 7(-2)3- 3 =

4 . (-32) - 7 . (-8) - 3 =

- 128 + 56 - 3 = - 75

3 comentarios: