domingo, 19 de julio de 2009

Teoría 16: Números y operaciones

Números

naturales

enteros

racionales

decimales

reales

complejos

Propiedades

Números naturales

Suma

Conmutativa : si cambiamos el orden de los sumandos la suma no varia: 4 + 3+ 2 = 9
2
+4 + 3 = 9
Asociativa : si efectuamos sumas parciales la suma no varía: (2 + 1) + (3 + 5) = 11
Cero elemento neutro: 12 + 0 = 12
Sucesión fundamental : se obtiene el siguiente número 8 + 1 = 9
Uniforme : a una igualdad le sumamos un mismo número se obtiene otra igualdad. 3 + 2 es igual a 4 + 1
3 + 2 + 5 = 7
4 + 1 + 5 = 7
Monotonía : a una desigualdad le sumamos un mismo número y se obtiene otra desigualdad. 4 + 1 no es igual a 4+2
4 + 1 + 5 = 10
4 + 2 + 5 = 11

Resta

No es conmutativa: si cambiamos el orden del minuendo y el sustraendo,la resta varia
5 - 2 = 3
2 - 5 = - 3
No es asociativa
Cero elemento neutro:
8 - 0 = 8
Sucesión fundamental:se obtiene el número anterior anterior
8 - 1 = 7
Uniforme: si a una igualdad le restamos un mismo número se obtiene otra igualdad 8 - 3 = 9 - 4
8 -3 - 4 = 1
9 - 4 - 4 = 1
Monotonía: si a una desigualdad le restamos un mismo número se obtiene otra desigualdad 6 - 4 ≠ 7 - 3
6 - 4 -1 = 1
7 - 3 - 1 =3

Multiplicación

Conmutativa : El orden de los factores no altera el producto. 2 x 3 = 6
3 x 2 = 6
Asociativa : sí sustituímos dos o más factores por su producto, el producto final no varía. ( 2 x 3 ) x 4 = 24
2 x ( 4 x 3 ) = 24
Uniforme:
Monotonía:
Propiedad distributiva : Para multiplicar una suma algebraica por un número natural se multiplica cada sumando por dicho número natural y luego se suman los productos parciales. (3 + 4 - 3 ) . ( 3 + 4 ) =
( 3.3 )+ (3.4) +( 4.3) +(4.4)+( -3.3)+( -3.4) =
9 + 12 + 12 + 16 - 9 - 12 = 28

División

No es conmutativa 6 : 2 = 3
2 : 6 = 0,333
No es asociativa ( 8 : 4) : 2 = 1
8: ( 4 : 2 ) = 4
Uniforme
Monotonía
Propiedad distributiva: para dividir una suma algebraica por un número natural
se divide cada sumando por dicho número natural y luego se suman los cocientes parciales
( 4 + 8) : 2 =
(4 : 2) +( 8 : 2)
2 + 4 = 6
No se puede:
2 : ( 4 + 8 ) =
(2 : 4) +( 2 : 8)
0,5 + 0,25 = 0,75

Sumas algebraicas : sucesión de sumas y restas de números naturales.

a) Aplico propiedad asociativa : agrupo los números positivos y le resto la suma de los números negativos.

Ejemplo:
80 - 2 + 3
5 - 3 -15 = ( 80 + 35 ) - ( 2+ 3 + 15 ) = 115 - 20 = 95

Radicación

No es conmutativa

2√3 ≠
3√2

No es asociativa

2√10+10
2√10 + 2√10

Distributiva con respecto a la multiplicación y la división

√4.9
= √4 .√9


Potenciación

No es conmutativa
72 ≠ 27
No es distributiva con respecto a la suma y la resta

( 2 + 3 + 1)2 ≠ 22 + 32 + 12

( 7 - 2 )3 ≠ 73 - 33

Distributiva con respecto a la multiplicación y la división

( 2 . 4 )2 = 22 . 42

(10 : 5 )2 = 102 : 52

Cuadrados y cubos

Número 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Cuadrado 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81
Cubo 0 1 8 27 64 125 216 343 512
729

Producto de potencias de igual base

Es otra potencia de la misma base, cuyo exponente es la suma de los exponentes de las potencias dadas

23 . 2 5 = 2( 3 + 5) = 28

Cociente de potencias de igual base

38 : 33 = 3( 8 - 3 ) = 35

Potencia de otra potencia

[( 2 )3]4 = 2 ( 3 . 4 ) = 212

Cuadrado de la suma de dos números naturales

( a + b )2

( a + b ) . ( a + b )

Aplicando propiedad distributiva

a2 + ab + ab + b2

a2 + 2ab + b2

Trinomio cuadrado perfecto

Producto de la suma por la diferencia de dos números

( a + b ) . ( a - b )

Aplicando propiedad distributiva

a2 - ab + ab - b2 =

a2 - b2

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