sábado, 18 de julio de 2009

Teoría 10: Derivadas

Podemos definir a la derivada de una función y = f(x) en el punto x = x0
La derivada de una función en un punto de su dominio como el límite de su cociente incremental
cuando el incremento de la variable independi
ente tiende a 0.

Cociente incremental Δx / Δy= f(x) - f(x0)
x - x0

Derivada de una función en un punto

limx→0 Δy/ Δx=limx→x0 f(x) -f (x0) = f´(x0)
x - x0

Calcular la derivada de la f tal que x→ x3 - 3 es decir Y= f(x) = x3 - 3 en el punto = 2

f(x0 ) = f (2) = 23 - 3 = 5

Incremento de la función

f(2 + Δx)3 - 3 - [ x3 - 3]

Siendo x = 2

Se desarrolla el cuatrinomio cubo perfecto

23 + 3 .22.Δx + 3. 2 .(Δx)2 + (Δx)3 - 3

8 + 12 Δx + 6 Δx2 + Δ x3 - 3

5 + 12 Δx + 6 Δx2 + Δ x3

Δy = f ( x0 + Δx ) - f( x0 ) = ( 2 + Δx ) - f(2)

= 5 + 12 Δx + 6 Δx2 + Δ x3 - 5

Δy = f ( 2 + Δx) - f (2) = 12 Δx + 6 Δx2 + Δ x3

El cociente incremental

Δy / Δx = f(2 + Δx) - f(2) = 12 Δx + 6 Δx2 + Δ x3 =
Δx
Δx

= 12 + 6 Δx + Δx2

La derivada en el punto x0 = 2 es:

f' (2) = limΔx → 0 f ( 2 + Δx) - f(2) = limΔx → 0 ( 12 + 6 Δx + Δx2 ) = 12
Δx

El número 12 es la derivada de la función

f(x) = x3 - 3 en el punto 2

Derivada de la función potencial

f' (x) = n xn - 1

  • f(x) = x4⇒ f'(x) = 4 x4 - 1 = 4 x3
  • f(x) = x - 2 f'(x) = -2 x - 2 - 1 = - 2 x- 3
  • f(x) = 1 = x- 3 ⇒ f'(x) = - 3 x -3 - 1 = - 3x- 4
    x3
  • f(x) = 3x = x1/3 f'(x) = 1/3x1/3 - 1 = 1/3x- 2/3

Tabla de derivadas

Función
f( x )
f'( x )
Constante
k
0
Lineal
ax + b
a
Potencial
xn
n. xn - 1
Seno
sen x
cos x
Coseno
cos x
- sen x
Exponencial
ax
ax In a
Exponencial de base e
ex
ex
Logarítmica
loga x
1 In a
x

Algebra de derivadas

Derivada de una suma de funciones

(f + g)' = f' + g'

Derivada de la resta de funciones

(f - g)' = f' - g '

Derivada del producto de funciones

(f . g )' f' . g + g' . f

Derivada del cociente de funciones

f = f' . g - g' . f
g g2

Derivadas sucesivas

y = 2x3 - 4x + 3
y' = 6x2 - 4
y'' = 12x
y''' = 12 a partir de esta derivada, las sucesivas derivadas valen 0

Derivación en cadena

In sen( x2 - x + 3)=

[In sen( x2 - x + 3)]´=

__1______ . cos ( x2 - x + 3) . ( 2x - 1 )
sen( x2 - x + 3)
1ª derivada del logaritmo 2ª derivada del seno 3ª derivada del polinomio ;

Derivar

√ecosx
____________
cosex. √senx

f´(x) = ( √ecos x). cos ex . √sen x - √ecos x . ( cos ex . √sen x)
_________________________________________
(cos ex .√sen x)2

= 1 / 2 √ecos x . ecos x . cos ex. . √sen x - √ecos x ( cos ex.). √sen x + cos ex. ( √sen x ) )
___________________________________________________________________________
cos2 ex . ( √sen x)2

- 1 / 2 √ecos x . ecos x sen x . cos ex. √sen x - √ecos x .( - sen ex.ex.√sen x + cos ex . cos x/ 2√senx
_______________________________________________________________________________
cos2 ex . sen x

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