Podemos definir a la derivada de una función y = f(x) en el punto x = x0
La derivada de una función en un punto de su dominio como el límite de su cociente incremental
cuando el incremento de la variable independiente tiende a 0.
Cociente incremental Δx / Δy= f(x) - f(x0)
x - x0
Derivada de una función en un punto
limx→0 Δy/ Δx=limx→x0 f(x) -f (x0) = f´(x0)
x - x0
Calcular la derivada de la f tal que x→ x3 - 3 es decir Y= f(x) = x3 - 3 en el punto = 2
f(x0 ) = f (2) = 23 - 3 = 5
Incremento de la función
f(2 + Δx)3 - 3 - [ x3 - 3]
Siendo x = 2
Se desarrolla el cuatrinomio cubo perfecto
23 + 3 .22.Δx + 3. 2 .(Δx)2 + (Δx)3 - 3
8 + 12 Δx + 6 Δx2 + Δ x3 - 3
5 + 12 Δx + 6 Δx2 + Δ x3
∴ Δy = f ( x0 + Δx ) - f( x0 ) = ( 2 + Δx ) - f(2)
= 5 + 12 Δx + 6 Δx2 + Δ x3 - 5
∴ Δy = f ( 2 + Δx) - f (2) = 12 Δx + 6 Δx2 + Δ x3
El cociente incremental
Δy / Δx = f(2 + Δx) - f(2) = 12 Δx + 6 Δx2 + Δ x3 =
Δx Δx
= 12 + 6 Δx + Δx2
La derivada en el punto x0 = 2 es:
f' (2) = limΔx → 0 f ( 2 + Δx) - f(2) = limΔx → 0 ( 12 + 6 Δx + Δx2 ) = 12
Δx
El número 12 es la derivada de la función
f(x) = x3 - 3 en el punto 2
Derivada de la función potencial
f' (x) = n xn - 1 |
- f(x) = x4⇒ f'(x) = 4 x4 - 1 = 4 x3
- f(x) = x - 2 ⇒ f'(x) = -2 x - 2 - 1 = - 2 x- 3
- f(x) = 1 = x- 3 ⇒ f'(x) = - 3 x -3 - 1 = - 3x- 4
x3 - f(x) = √3x = x1/3 ⇒ f'(x) = 1/3x1/3 - 1 = 1/3x- 2/3
Tabla de derivadas
Función | f( x ) | f'( x ) |
Constante | k | 0 |
Lineal | ax + b | a |
Potencial | xn | n. xn - 1 |
Seno | sen x | cos x |
Coseno | cos x | - sen x |
Exponencial | ax | ax In a |
Exponencial de base e | ex | ex |
Logarítmica | loga x | 1 In a x |
Algebra de derivadas
Derivada de una suma de funciones
(f + g)' = f' + g'
Derivada de la resta de funciones
(f - g)' = f' - g '
Derivada del producto de funciones
(f . g )' f' . g + g' . f
Derivada del cociente de funciones
f = f' . g - g' . f
g g2
Derivadas sucesivas
y = 2x3 - 4x + 3
y' = 6x2 - 4
y'' = 12x
y''' = 12 a partir de esta derivada, las sucesivas derivadas valen 0
Derivación en cadena
In sen( x2 - x + 3)=
[In sen( x2 - x + 3)]´=
__1______ . cos ( x2 - x + 3) . ( 2x - 1 )
sen( x2 - x + 3)
1ª derivada del logaritmo 2ª derivada del seno 3ª derivada del polinomio ;
Derivar
√ecosx
____________
cosex. √senx
f´(x) = ( √ecos x). cos ex . √sen x - √ecos x . ( cos ex . √sen x)
_________________________________________
(cos ex .√sen x)2
= 1 / 2 √ecos x . ecos x . cos ex. . √sen x - √ecos x ( cos ex.). √sen x + cos ex. ( √sen x ) )
___________________________________________________________________________
cos2 ex . ( √sen x)2
_______________________________________________________________________________
cos2 ex . sen x
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