sábado, 18 de julio de 2009

Teoría 7: Logaritmos


Se llama logaritmo de un número real positivo, b en base a otro número a también real positivo y diferente de 1, al número c que es el exponente a que hay que elevar la base a para obtener el número b

log a b = c si y solo si a c = b .

De acuerdo con la definición tenemos que:

  • log2 8 = 3 pues 2 3= 8.
  • log10 √ 10 = 1/2 pues 10 1/2 = √ 10
  • log1/216 = - 4 pues (1/2)-4 = 2 4 = 16
  • log 121 = 0 pues (12)0 = 1
  • log71/49 = -2 pues (7)- 2 = 1/49
  • log1010 = 1 pues (10)1= 10

Los números negativos no tienen logaritmo en el conjunto de los números reales .

Cuando la base de los logaritmos es mayor que 1, los números positivos menores que la unidad tienen logaritmo negativo:

log3 1/81 es igual a - 4 pues (3)- 4 = 1/81

Propiedades de los logaritmos

La logaritmación no es distributiva con respecto a la suma

log2( 2 + 4 + 8 + 2) log2 16 = 4 24 = 16
log22 = 1
log2 4 = 2
log2 8 = 3
log2 2 =1
7
No se cumple

No es distributiva con respecto a la resta

log2(64 - 32) log232 = 5 25
log264 = 6
log2 32 = 5
11

No se cumple

Tanto en la suma como en la resta se debe efectuar la operación y luego calcular el logaritmo.

Producto

El logaritmo de un producto en una base dada, es igual a la suma de los logaritmos de los factores en esa misma base.

loga( m . n) = logam + logan

log5 (25 . 5) = log525 + log55 =log5 (25 . 5) = 2 + 1 = 3

log5125 = 3 pues53= 125

División

El logaritmo de un cociente en una base dada, es igual a la diferencia entre el logaritmo del dividendo y el del divisor.

loga( m : n) = logam - logan

log2(64: 16) = log264 - log216 = 6 - 4 = 2

log2 4 = 2

Potencia

loga bn = n. log a b

a) log2 8 4 = b) 4 . log 2 8

a) log2 4096 = 12 pues 212 = 4096

b) 4. 3 = 12

Radicación

loga√b = logab
2

a) log2 √16 b) log2 16
2

a) log2 4 = 2

b) 4 = 2
2

Logaritmo recíproco

loga 1 / b = - loga b

log2 1 / 3 = -1 log2 3

Cambio de base

loga b = log b / log a

log2 16 = log 16 / log 2 = 1,2 / 0,301 = 3,98

Logaritmos naturales

El cambio de base expresa que todos los logaritmos pueden ponerse en términos de uno solo.
Los logaritmos comunes son los de base 10 y se designan como log
Los logaritmos de base e que se llaman logaritmos naturales y se designan como ln .

log x = log 10 x ,
ln x = loge x .

Función exponencial natural

La inversa de la función logaritmo natural ln x , se la denomina exponencial natural y sela designa como e x

a x = e x ln x

Inversa de la función logarítmica

1
1 + x

x 1 dt = In( 1 + x ) + C
1 + x

ex = lim ( 1 + x + x/ n)x log x = lim n ( x1/x - 1 )
x→∞ x→∞

Gráfica de la función logaritmo

Los gráficos de las funciones exponenciales cuando la base es mayor que 1 y cuando está entre 0 y 1.

f ( x ) = log 2 x

La función f ( x ) = log a x es una función biyectiva de ]0, ∞[ en los reales.
Su función inversa que va de los reales en ]0,+ ∞ [ = función exponencial de base a = a x

la inversa de f ( x ) = log a x

f -1 : R → ]0,+ ∞[ x →a x

log 2 x

f -1 : R → ]0,+ ∞[ x →2 x

No hay comentarios:

Publicar un comentario en la entrada